近世代数

近世代数笔记

群

一个非空集合 $S$ ，对任何一个有序元素对 $(a,b)$ 都可以判断 $a\mathcal{R}b$ 是否成立，则称 $\mathcal{R}$ 是一个关系，又称其为二元关系。

如果对于一个集合的一个关系 $\mathcal{R}$ 具有如下性质：

那么称 $\mathcal{R}$ 是 $S$ 的一个等价关系。若 $a\mathcal{R}b$ ，则称 $a$ 与 $b$ 等价，即 $a\sim b$ 。

如果 $\sim$ 是集合 $S$ 的一个等价关系， $a\in S$ ，则记

[a]=\{x\sim a\mid x\in S\}

为等价类。 $S$ 全体等价类的集合称为 $S$ 的商集，即

S/\sim =\{[a]\mid a\in S\}

在整数集 $\mathbb{Z}$ 中，给定整数 $m$ ，定义下面的等价关系为同余关系：

a\mathcal{R}b\iff m\mid a-b.

给定元素 $a$ 的等价类表达为：

[a]=\{a+km\mid k\in \mathbb{Z}\}

其模 $m$ 的商集又称为模 $m$ 剩余类集，表示为：

\boldsymbol{Z}_m=\{[0],[1],\dots,[m-1]\}.

若对于集合 $S$ 的一个子集簇 $\{S_i\mid i\in I\}$ 满足如下要求：

则称子集簇 $\{S_i\mid i\in I\}$ 为集合 $S$ 的一个划分，记作 $\mathcal{P}={S_i\mid i\in I}$ 。

对于非空集合 $A$ ，若 $\forall a,b\in A$ ，通过某个法则” $\cdot$ “都有唯一确定的元素 $c$ 与之对应，则称该法则为集合 $A$ 上定义的一个代数运算，表达式为

a\cdot b=c.

代数运算要求运算结果唯一且封闭。